miércoles, 21 de noviembre de 2018

Regla de Ruffini

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableción un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.


Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar dos ejemplos:
1 Dividir: (x4 − 3x² + 2) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros
(x4 + 0x³ − 3x² + 0x + 2 ) : (x − 3)
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor: −(−3) = 3
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1)
Ruffini
5Multiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (3) y lo colocamos debajo del siguiente término (0)
Ruffini
6Sumamos los dos coeficientes (0 + 3)
Ruffini
7Repetimos el proceso anterior (3 · 3 = 9;    −3 + 9 = 6)
Ruffini
Volvemos a repetir el proceso (3 · 6 = 18;    0 + 18 = 18)
Ruffini
Volvemos a repetir (3 · 18 = 54;    2 + 54 = 56)
Ruffini
8El último número obtenido, 56, es el resto
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido
x³ + 3x² + 6x +18
2Dividir por la regla de Ruffini: (x5 − 32) : (x − 2)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros
(x5 + 0x4 + 0x³ − 0x² + 0x − 32 ) : (x − 2)
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor: −(−2) = 2
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1)
5Multiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (2) y lo colocamos debajo del siguiente término (0)
6Sumamos los dos coeficientes (0 + 2)
7Repetimos los pasos 5 y 6 hasta el final
Ruffini
Cociente: x4 + 2x³ + 4x² + 8x + 16
Resto: 0

lunes, 11 de mayo de 2015

EJERCICIOS DE COMBINATORIA

¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
No entran todos los elementos.
 importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
 entran todos los elementos.
 importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
 entran todos los elementos.
 importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 9.
solución
¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?
No entran todos los elementos.
 importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden formarse? ¿Cuántos son pares?
 entran todos los elementos: 3 < 5
 importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
solución
Si el número es par tan sólo puede terminar en 2.
solución
¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?
Se forman dos grupos:
El primero de 2 personas.
El segundo sería considerado como un grupo de 7 personas. Basta pensar en el grupo formado por el presidente y el secretario como una única persona (pues siempre van juntos).
En los dos se cumple que:
 entran todos los elementos.
 importa el orden.
No se repiten los elementos.
solución
¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son combinaciones, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
solución
Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
Soluciones:
1Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
solución
2Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
solución
3Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
solución

jueves, 21 de febrero de 2013

Circunferencia Goniométrica

Es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. En la gráfica se observa la relación de ángulos suplementarios (a + b = 180º):
sen a = sen b
cos a = - cos b
tg a = - tg b

lunes, 30 de abril de 2012

Producto escalar de dos vectores


El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
producto

Ejemplo

producto
producto
producto

Expresión analítica del producto escalar

producto

Ejemplo

producto
producto